1.1.4 Степень с целым показателем

Видеоурок: Степень с целым показателем 

Лекция: Степень с целым показателем

Степень

Когда говорят о степени с целым показателем, это означает, что число "n" должно быть величиной не дробной. Если данный показатель имеет отрицательное значение, то для начала необходимо избавиться от минуса перед показателем степени, а затем производить действия над степенью.

а - основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя, n - показатель степени - он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.

Например:

8⁴ = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

В данном случае под основанием степени понимают число "8", показателем степени считается число "4", под значением степени понимается число "4096". 

Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание - ЭТО НЕ ВЕРНО!

Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом. В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.

Например,

(-0,1)³ = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Свойства степени

Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:

1. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.

а¹ = а.

Например,

5¹ = 5.

2. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.

а⁰ = 1.

Например,

7⁰ = 1.

3. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

aⁿ * a^m = a^n+m.

Например:

5² * 5⁴ = 5⁶.

4. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.

aⁿ / a^m = a^n-m .

Например,

5⁴ : 5² = 5².

5. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

(aⁿ )^m = a^n*m

Например,

(5⁴ )² = 5⁸.

6. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

(a * b)^m = a^m * b^m.

Например,

(5 * 8 )² = 5² * 8².

7. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

(a / b)^m = a^m / b^m

8. Если некоторая дробь имеет отрицательный показатель степени, то для избавления от знака минуса, её следует перевернуть.

Например,

Очень важно помнить, что знак степени не влияет на знак выражения при возведении в степень.

9. Если Вы возводите отрицательное число в четную степень, то в результате Вы всегда получите положительное число. Если же необходимо возвести отрицательное число в нечетную степень, то результатом данного математического действия будет отрицательное число.

Например,

(-11)² = 121,

(-3)³ = (-27).