6.1.2 Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона

Видеоурок 1: Сочетания

Лекция: Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона

Существует основные формулы для сочетаний и перестановок:

В данной таблице важно внимательно смотреть на условие задачи: по горизонтали происходит разделение формул в зависимости от возможности повторения элементов. По вертикали сверху описаны случаи задач, в которых важен или не важен порядок элементов. А снизу Вы можете наблюдать задания, которые следует выполнить над элементами.

Бином Ньютона

С частным случаем Бинома Ньютона мы уже сталкивались при использовании формул сокращенного умножения, а именно при возведении суммы или разности чисел во вторую и в третью степень. Сейчас же мы рассмотрим формулу, которая позволит возвести сумму некоторых двух чисел в любую степень.

Формула Бинома Ньютона:

Чтобы найти коэффициенты, следует воспользоваться сочетательным законом комбинаторики без повторений:

Давайте для начала рассмотрим знакомую нам формулу и как она получилась:

Коэффициенты Бинома Ньютона

Для более простого подсчета коэффициентов Бинома Ньютона для невысоких степеней удобно пользоваться треугольником Паскаля:

Данный треугольник несложно вычислить и самостоятельно. По бокам в каждой строчке имеется коэффициент, равный единице. Все средние коэффициенты считаются, как сумма верхних, которые находятся над ними.

Существует очень важное свойство коэффициентов для Бинома Ньютона, которое позволит проверить правильность их расставления. Для этого необходимо сложить все коэффициенты на четных местах, затем сложить коэффициенты на нечетных местах, после чего сравнить полученные значения. Они должны получиться равными.