6.1.1 Поочередный и одновременный выбор
Видеоурок 1: Комбинаторика
Видеоурок 2: Размещения
Видеоурок 3: Перестановки
Лекция: Поочередный и одновременный выбор
КомбинаторикаМы уже с Вами изучали, какие бывают цифра, как они объединяются в множества.
Однако существует наука, которая изучает все возможные варианты составления некоторых элементов в множества и подмножества. Эта наука называется комбинаторика, то есть она комбинирует элементы.
Все множества, в которые комбинаторика объединяет элементы, называются выборками.
Если в некоторой выборке имеется определенный порядок, то она называется упорядоченной.
Основной задачей комбинаторики считается подсчет выборок из основного множества элементов.
Поочередный выбор
Давайте попробуем понять, какое существует количество вариантов для размещения цифр 1,2,3,4 в виде трехзначного числа.
Чтобы это сделать, необходимо воспользоваться методом схемы или, как еще её называют, методом дерева:
Итак, таких вариантов получилось 43 = 64. Откуда взялось число 4? Это исходное количество элементов, а 3 – это количество элементов, которое должно получится в результате.
Такие размещения могут иметь различный порядок в зависимости от исходных условий или же по причине различия элементов.
Если говорят о размещении с повторением, это означает, что элементы могут повторяться.
Число размещений обозначается следующим образом:
Причем k – количество элементов, n – количество повторений.
В нашем случае решение нашей задачи будет выглядеть следующим образом:
Теперь давайте рассмотрим следующее задание: необходимо подсчитать, какое количество 7-мизначных чисел может получится из следующих цифр: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4.
Как видно из задания, в данном случае цифры повторяются. Поэтому мы подходим к перестановке с повторениями.
Как понятно, из-за повторения первоначальных элементов, количество вариантов семизначных чисел будет меньше, чем если бы элементы не повторялись.
Чтобы подсчитать количество семизначных чисел из первоначальных элементов, следует воспользоваться следующей формулой:
Для нашего случая n – это количество цифр в конечной выборке, а k – это первоначальные элементы без повторений. В результате этого получим:
- Размещения без повторений
Давайте узнаем количество четырехзначных чисел из элементов 1, 2, 3, 4. Для решения задачи воспользуемся все тем же «деревом».
Или воспользуемся формулой:
Получим:
Одновременные выборки
- Сочетания без повторений
Задание заключается в том, чтобы из четырех цифр получить подмножества, состоящие из трех элементов, которые будут отличаться друг от друга всего одним элементов.
Чтобы решить подобную задачу, следует воспользоваться формулой:
В результате чего получим:
- Сочетания с повторениями
Давайте узнаем, какое количество костей будет в домино, если использовать только цифры 1, 2, 3, 4. То есть элементы могут повторяться.
Чтобы решить такую задачу, воспользуемся уравнением:
| Предыдущий урок | Следующий урок |
Оставить комментарий