5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

Видеоурок: Объем и площадь поверхности тел вращения

Лекция: Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

Давайте вспомним, из чего состоит цилиндр – из боковой поверхности и двух оснований. Чтобы найти площадь всей боковой поверхности, следует найти площади каждой отдельной поверхности. Это значит, что для получения площади двух оснований (окружностей), следует воспользоваться формулой:

Двойка в формуле появилось из-за того, что у цилиндра два одинаковых основания. Поэтому вместо того, чтобы складывать две площади окружности, их достаточно просто умножить на «2».

С основаниями определились. Боковая поверхность цилиндра в развороте – это прямоугольник. 

Площадь прямоугольника находится, как произведение смежных сторон. А так как одна из сторон описывает длину окружности основания, то можно воспользоваться формулой:

S = 2πRH

А значит, общая площадь поверхности цилиндра:

S = 2πR² + 2πRH = 2πR(R + H)

Поверхность конуса

Конус состоит из боковой поверхности, а также из основания в виде окружности. Для нахождения полной площади поверхности следует найти площадь каждой составляющей.

Площадь основания: S = πR²

Площадь боковой поверхности: S = πRl, где l – образующая.

Следовательно, общая площадь поверхности конуса находится, как сумма площадей, описанных выше:

S = πRl + πR²

Для нахождения площади поверхности шара необходимо воспользоваться формулой для площади круга, умножив её на «4»:

S = 4πR²

Для нахождения площади некоторого сегмента шара можно воспользоваться следующей формулой:

S = 2πRH, где Н – высота исследуемого сегмента.