5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах
Видеоурок 1: Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Видеоурок 2: Теорема о трех перпендикулярах. Теория
Видеоурок 3: Теорема о трех перпендикулярах. Задача
Лекция: Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах
Перпендикулярность прямой и плоскостиДавайте вспомним, что такое вообще перпендикулярность прямых. Перпендикулярны те прямые, которые пересекаются под углом, равным 90 градусов. При этом угол между ними может быть, как в случае пересечения в некоторой точке, так и в случае скрещивания. Если некоторые прямые скрещиваются под прямым углом, то их тоже можно назвать перпендикулярными прямыми в том случае, если благодаря параллельному переносу прямая переносится в точку на второй прямой.
Определение: Если же прямая перпендикулярная любой прямой, которая принадлежит плоскости, то её можно считать перпендикулярной к этой плоскости.
Признак: Если на некоторой плоскости имеются две перпендикулярные прямые и некоторая третья прямая перпендикулярна каждой из них, то эта третья прямая перпендикулярна плоскости.
Свойства:
- Если некоторые прямые перпендикулярны одной плоскости, то они взаимно параллельны друг другу.
- Если имеются две параллельных плоскости, а так же некоторая прямая, которая перпендикулярна одной из плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
- Так же можно и высказать обратное утверждение: если некоторая прямая перпендикулярна двум различным плоскостям, то такие плоскости обязательно параллельны.
Наклонная
Если некоторая прямая соединяет произвольную точку, которая не лежит на плоскости с любой точкой плоскости, то такая прямая будет называется наклонной.
Обратите внимание, наклонная она только в том случае, если угол между ней и плоскостью не 90 градусов.
На рисунке АВ – это наклонная к плоскости α. При этом точка В называется основанием наклонной.
Если же провести отрезок из точки А к плоскости, который будет составлять угол 90 градусов с плоскостью, то этот отрезок будет называться перпендикуляром. Перпендикуляром еще называют наименьшее расстояние до плоскости.
АС – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. При этом точка С называется основанием перпендикуляра.
Если же на данном чертеже провести отрезок, который будет соединять основание перпендикуляра (С) с основанием наклонной (В), то полученный отрезок будет называться проекцией.
В результате несложных построений мы получили прямоугольный треугольник. В данном треугольнике угол АВС называется углом между наклонной и проекцией.
Теорема о трёх перпендикулярах
А теперь давайте нарисуем новый чертеж, на котором покажем перпендикуляр, наклонную, проекцию, а так же прямую, которая будет лежать на плоскости, и будет перпендикулярна наклонной и проекции.
На этом рисунке мы указали три перпендикулярные прямые: m, a1, a.
Если некоторая прямая m является перпендикулярной прямой к наклонной, то она будет перпендикулярна и к проекции этой наклонной.
Чтобы понять задачу, старайтесь её всегда визуализировать, например, с помощью карандашей.
Кроме специализированных задач, эта теорема Вам пригодиться, когда Вы будете решать задачи на сечения, или общей стереометрии:
| Предыдущий урок | Следующий урок |
Оставить комментарий