5.1.5 Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника

Видеоурок 1: Вписанная окружность

Видеоурок 2: Окружность, описанная около треугольника

Лекция: Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника

Около некоторых треугольников можно описать окружность, а в некоторые можно окружность вписать.

Вписанный треугольник

Обратите внимание, если некоторый треугольник вписан в окружность, то все прямые, которые соединяют центр окружности с вершинами треугольника, равны. Более того, они имеют величину радиуса.

Существуют несложные формулы, позволяющие определить стороны треугольника по известному радиусу окружности, или же наоборот определить радиус по сторонам:

Если в окружность вписан правильный треугольник, то формулы упрощаются. Хотелось бы напомнить, что правильным называется тот треугольник, у которого все стороны равны:

Формула для нахождения площади правильного треугольника, если он вписан в окружность:

Если некоторый треугольник располагается внутри окружности, то существует правило размещения центра окружности.

Если в окружность вписали любой остроугольный треугольник, то центр этой окружности будет находится внутри треугольника:

Если в окружность вписан правильный треугольник, то центр окружности будет считаться центром треугольником, а также точкой пересечения его высот.

Если в окружность вписанный прямоугольный треугольник, то центр окружности будет лежать на середине гипотенузы:

Если в окружность вписан тупоугольный треугольник, то центр окружности будет находится за пределами треугольника:

Вписанная окружность

Окружность можно назвать вписанной в том случае, если она касается всех сторон треугольника в одной точке.

Для треугольника, в который вписана окружность, существует некоторое правило:

Своими точками касания окружность отсекает три пары равных отрезков: КВ = BL, AK = AM, MC = CL.

Определить связь радиусов окружностей и длин сторон можно с помощью следующих формул:

Если окружность вписана в правильный треугольник, то формула упрощается: