5.1.1 Треугольник
Видеоурок: Планиметрия. Треугольники и их свойства
Лекция: Треугольник
Начиная рассматривать и изучать геометрию, мы сталкиваемся с фигурами, которые можно изобразить на плоскости – многоугольники.
Многоугольники – это плоские тела, которые имеют некоторое количество сторон и углов.
Треугольник
Одной из простейших фигур являются треугольники.
Треугольник – это многоугольник, у которого 3 стороны, 3 угла и 3 вершины.
Треугольник состоит из трех отрезков, которые соединяются отдельными тремя точками, причем необходимо понимать, что эти точки не должны лежать на одной прямой.
Треугольник – это основная фигура в геометрии. Практически все известные формулы связаны и вытекают именно из треугольника. Так же важно понимать, что практически все геометрические задачи необходимо сводить к треугольникам.
Сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. И есть еще одна отличительная особенность – сумма любых двух сторон всегда больше третьей стороны.
Вершины
Любой треугольник обозначается тремя основными заглавными буквами. Для названия треугольника можно использовать любую комбинацию букв, но чаще всего – это А, В, С.
На рисунке изображен треугольник ∆АВС, который имеет углы:
∠А, он же ∠α, он же ∠ САВ. Обратите внимание, когда угол называется тремя буквами, букву, что стоит у вершины называют второй по порядку. Этот угол образован двумя прямыми b и с.
∠В, он же ∠β, он же ∠АВС. Этот угол образован двумя прямыми а и с.
∠С, он же угол ∠γ, он же ∠АСВ. Этот угол образован прямыми a и b.
Типы треугольников
Существует несколько основных типов треугольников. Очень часто одно слово в задаче по поводу типа треугольника может моментально помочь её решить.
Рассмотрим несколько основных типов:
1. По типу углов:
- Остноугольный – это треугольник, все углы которого имеют градусную меру, меньшую 90 градусов.
- Тупоугольный – это треугольник, у которого хотя бы один угол тупой, то есть его градусная мера больше 90 градусов.
- Прямоугольный – треугольник, у которого один угол прямой, то есть имеет градусную меру 90 градусов.
2. По типу сторон:
Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют различную длину.
Равнобедренный – треугольник у которого две стороны равны. Иногда эти две равные стороны называют бедрами.
Равносторонний – треугольник, у которого все стороны и углы равны. Многоугольники, у которых все стороны равны, называются правильными. Это значит, что равносторонний треугольник – это правильный треугольник.
Медиана, биссектриса и высота
В любом треугольнике может быть медиана, биссектриса и высота.
Биссектриса – это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, и при этом делит угол вершины пополам.
Формула для биссектрисы:
Медиана – это луч, который соединяет вершину с противолежащей стороной, и делит эту сторону пополам.
Длину медианы можно найти следующим образом:
Данная формула была выведена из формулы теоремы косинусов или частного случая теоремы Пифагора.
Высота – это луч, который выходит из вершины треугольника и падает на противоположную сторону под прямым углом (90 градусов).
На рисунке ниже показаны основные способы опускания высоты в различных треугольниках. Обратите внимание, что, опуская высоту из вершины острого угла тупоугольного треугольника, она падает за пределами треугольника:
Если провести высоту из вершины равнобедренного или равностороннего треугольника, то она будет являться и медианой, биссектрисой.
Для нахождения высоты так же можно использовать отдельную формулу. Эта формула используется для произвольного треугольника:
| Предыдущий урок | Следующий урок |
Оставить комментарий