4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Видеоурок 1: Применение производной к исследованию функций

Видеоурок 2: Применение производной к построению графиков функций

Лекция: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

В предыдущих темах мы уже рассматривали основной алгоритм, по которому следует рассматривать и характеризовать функции. Изучив понятие производной, можно расширить возможности по исследованию функций.

Исследование функции. Построение графика

• Первое и самое основное, что мы уже знаем, это исследование области значения и определения функции.
• Определяем можно ли отнести данную функцию к четной или нечетной. Если функция относится к тригонометрической, то необходимо определить её период.
• Определяем точки, в которых график пересекает оси ОХ и ОУ, если таковые имеются. Для этого необходимо сначала подставить нуль вместо у, а затем вместо х. Полученные значения будут являться координатами точек, в которых график пересекает оси.
• Следующий шаг – определение критических точек функции. Для этого необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю. Почему это необходимо сделать именно так. Мы помним, что производная некоторой функции в некоторой точке – это тангенс угла наклона. Если этот тангенс будет равен нулю, это значит, что прямая параллельна оси ОХ, а значит, в данной точке находится максимальное или минимальное значение функции на рассматриваемом промежутке.
• Находим экстремумы функции, а также максимумы и минимумы. Определяем, на каких промежутках функция является монотонно возрастающей, а на каких монотонно убывает.
• По полученным данным необходимо построить график или его приблизительную схему. Почему схему? Потому что мы не можем наверняка знать графики всех произвольных сложных функций. Но мы можем нарисовать его схему, которая показывает места перегибов и приблизительный вид графика.