4.1.3 Уравнение касательной к графику функции
Видеоурок: Уравнение касательной к графику функции
Лекция: Уравнение касательной к графику функции
Если некоторая прямая проходит через точку с координатами (х0; f (х0)), а угол наклона данной прямой равен производной функции в данной токе, то такую прямую называют касательной к графику.
Обратите внимание, если не существует производной графика в данной точке, то и не может существовать касательной, или же данная касательная перпендикулярна к оси ОХ. Второй случай можно наблюдать в результате проведения касательной для графика функции арксинуса.
Итак, давайте рассмотрим задание касательной. Мы знаем, что для задания любой прямой, необходимо воспользоваться формулой y = kx + b.
Коэффициент k показывает, под каким углом будет располагаться прямая относительно оси ОХ. Если данный коэффициент больше нуля, то угол наклона между касательной и осью ОХ острый, если же коэффициент отрицательный, то угол между осью ОХ и касательной тупой.
Но давайте возвратимся к тому, что такое угловой коэффициент и как он находится. С прошлых вопросов мы помним, что угловой коэффициент – это производная функции в некоторой точке х0.
Чтобы задать уравнение касательной, необходимо воспользоваться формулой:
Итак, давайте рассмотрим подробнее, для этого необходимо провести аналогию между первоначальным уравнением прямой и уравнением касательной.
Отсюда следует, что для нахождения коэффициента k, необходимо найти производную в рассматриваемой точке.
Давайте найдем уравнение прямой для функции у = х3 в точке х0 = 3.
1. Находим производную данной функции:
y' = 3x2.
2. Как уже было сказано ранее, коэффициент – это производная функции в некоторой точке, поэтому
y'(3) = 3* 32 = 27.
3. Как видно из уравнения касательной, нам так же необходимо найти и значение функции в рассматриваемой точке f(x0):
f(3) = 33 = 27.
Совершенно случайно получилось так, что значение производной в точке совпало со значением функции в заданной точке. Обратите внимание, что это просто совпадения и НЕ обязательно y' = f(x0).
4. Теперь давайте составим уравнение касательной по заданной формуле:
у = 27 * (х – 3) + 27.
Чтобы получить конечно уравнение, необходимо сделать некоторые преобразования:
у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х - 54.
То есть уравнение касательной:
у = 27х - 54.
Найти уравнение касательной достаточно просто, главное не запутаться в формуле. Для этого её необходимо просто выучить.
| Предыдущий урок | Следующий урок |
Оставить комментарий