2.2.1 Квадратные неравенства
Видеоурок 1: Решение квадратных неравенствВидеоурок 2: Решение неравенств методом интервалов
Лекция: Квадратные неравенства
Равносильные неравенстваПод решением неравенства понимают нахождение такого значения или промежутка значений, при котором сохраняется знак неравенства.
Так бывают такие неравенства, в которых не существует решений. Однако, это необходимо доказать.
Как и в случае с уравнениями и системами уравнений, при решении неравенств сталкиваются с равносильными неравенствами. Неравенства называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или не имеют их вообще.
Итак, в каких случаях можно получить равносильные неравенства:
1. При перенесении слагаемого из одной части неравенства в другую, неравенство будет равносильным, если изменить знак слагаемого.
2. Если правую и левую часть неравенства умножить или разделить на любое положительное число или выражение, то знак неравенства останется прежним, а неравенство получится равносильным.
3. Если правую и левую часть неравенства умножить или разделить на любое отрицательное число или выражение, то необходимо изменить знак неравенства. В таком случае получится равносильное неравенство.
Способы решения неравенствСамым популярным способом решения всех неравенств является метод интервалов.
Чтобы решить неравенство, таким образом, необходимо любое неравенство разложить с одной стороны на множители, а в другой части неравенства получить нуль.
Обратите внимание, в отличие от уравнения, если вы получили множители в знаменателе, то нельзя от них избавляться. Следует заменить деление умножением, с учетом ОДЗ.
Алгоритм решения неравенств методом интервалов:
1. Итак, если Вы получили неравенство, содержащее функцию:
То необходимо найти ОДЗ. Напоминаем, что если в неравенстве содержится корень, то значение под знаком корня не может принимать отрицательное значение. Если некоторый множитель находится в знаменателе, то он не может принимать отрицательное значение.
2. Следующим шагом необходимо найти нули функции. Для этого функцию приравнивают к нулю.
3. Полученные значения нулей следует нанести на числовую прямую. Если неравенство строгое или полученные нули не попадают в ОДЗ, то точки наносятся пустыми кружочками. Если же неравенство не строгое, то кружочки зарисовываем. Пустая точка означает, что данное значение переменной не является решением неравенства.
4. После нанесения точек на прямую необходимо узнать знак, который принимает функция в целом в данном промежутке. А затем расставить знаки над каждым промежутком.
5. После этого все промежутки, которые удовлетворяют знаку неравенства, записать в качестве решения с учетом крайних точек.
Квадратичные неравенстваЕсли неравенство имеет вид: ax2 + bx + c >0 (<, ≤, ≥), то данное неравенство называется квадратичным.
Прежде, функцию, содержащуюся в неравенстве, необходимо приравнять к нулю и найти корни данного уравнения.
После этого неравенство раскладывается на множители и решается так, как описано выше.
| Предыдущий урок | Следующий урок |
Оставить комментарий