2.1.10 Использование свойств и графиков функций при решении уравнений
Видеоурок 1: Графический способ решения систем уравнений
Видеоурок 2: Решаем систему уравнений графически
Лекция: Использование свойств и графиков функций при решении уравнений
Что такое функцияДля начала давайте разберемся, что такое функция.
Под некоторой числовой функцией понимают закономерность, при которой одному значению переменной (х), соответствует одно значение функции (у).
Независимая величина обозначается буквой "х" и является аргументом данной функции.
Величина, которая зависит от аргумента, называется функцией, обозначается функция, как y = f(x).
D(f) - это множество значений, которые может принимать аргумент, чтобы функция имела место.
E(f) - это некий промежуток, на котором существует заданная функция.
Если говорить о графике произвольной функции, то это место точек на плоскости на заданной области определения функции.
Чтобы решить уравнение или системы уравнений, то важно знать основные свойства функций, а также виды графиков. Очень часто в качестве ответа на уравнение или систему можно получить решение, которое не принадлежит ОДЗ, а также промежутку, где функция будет существовать. В таком случае данное решение не будет иметь место.
Свойства функций1. Парность/ непарность
Если функция на графике является симметричной относительно оси ОУ, то данная функция будет называться парной. Для такой функции значение функции будет одинаковым, как для положительных "х", так и для отрицательных.f(-x) = f(x).
Парной функцией можно назвать квадратичную функцию, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат. Так же график выражения в модуле будет являться парной функцией. Среди тригонометрических функций существует единственная функция, которую можно назвать парной - косинус без сдвига фаз.
Если функция симметрична относительно начала координат, то её называют непарной.
f(-x) = - f(x).
К таким функциям можно отнести любую функцию, старший член которой будет иметь нечетную степень или же, например, функция синуса.
Множество остальных функций нельзя отнести ни к парным, ни к непарным.
2. Периодичность
Если некоторая функция повторяется через некоторый период. Такие функцию будут повторяться до бесконечности. К периодичным функциям относятся все тригонометрические функции, не ограниченные на некотором промежутке.
3. Нули функции и промежутки знакопостоянства
Нуль функций - это такое значение ординаты, при которой функция обращается в нуль.
Когда мы находим решение уравнений, мы, как раз, находим нули функций. Иными словами нулем называется точка, в которой график функции пересекает ось ОХ.
Промежутки знакопостоянства - это диапазон, в котором функция имеет одинаковый знак, то есть принимает только положительные, или только отрицательные значения.
4. Убывание/ возрастание функции
Если на некотором промежутке [а,б] функция f(x1) < f(x2) для любых x1 < x2, то такую функцию называют монотонно возрастающей.
Если на некотором промежутке [а,б] функция f(x1) > f(x2) для любых x1 < x2, то такую функцию называют монотонно убывающей.
5. Минимум/ максимум/ экстремум
Если для некоторого участка функции в точке выполняется неравенство f(x1) < f(x0)(f(x1) > f(x0)), то точка x0 является максимумом (минимумом) функции.
То есть точкой, в которой функция будет принимать максимальное (минимальное) значение.
Точки, в которых функция принимает максимальное или минимальное значения, называются экстремумами функции.
В данном случае xmax, xmin - точки экстремума, а функция в данной точке называется экстремумом функции.
Точки, в которых производная функции равная нулю или не существует вовсе, называются критическими точками.
Если производная некоторой функции в точке равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то данная точка будет точкой максимума, если вторая производная меньше нуля, и минимума, если она больше нуля.
| Предыдущий урок | Следующий урок |
Оставить комментарий