2.1.7 Равносильность уравнений, систем уравнений

Во время преобразования выражений уравнений, их приводят к равносильным уравнениям. 

Так же равносильными можно считать те уравнения, которые вовсе не имеют корни. Например, равносильное будет то уравнение, в котором поменять местами правые и левые части, или же все члены уравнения разделить или умножить на одно и то же число, если к обеим частям уравнения добавить или отнять одно и то же число. Любое преобразование по математическим правилам также приводит к равносильному уравнению.

Если рациональное уравнение содержит неизвестную в знаменателе, то для получения равносильного уравнения необходимо учитывать ОДЗ, поскольку знаменатель не может превращаться в нуль.     

Во время всех преобразований очень важно обращать внимания на ОДЗ, поскольку впоследствии могут  появляться посторонние корни, которые не допустимы по ОДЗ.    

Например, если в правой и левой части уравнения содержится одинаковый корень, который при приведении подобных уничтожается, необходимо учитывать, что под корнем не может находиться отрицательное число, а все корни, которые приводят выражение под корнем, являются посторонними.

Такая ошибка может так же возникнуть в том случае, когда во время преобразований, справа и слева относительно равно имеются одинаковые знаменатели. Вы имеете право их сократить, но прежде следует найти ОДЗ, в которых указать корни, приводящие знаменатель в нуль, и исключить их.

Один из способов получить равносильное уравнение - разложить его на множители. Существует несколько способов, позволяющих разложить многочлен на множители: 

1. С помощью формул сокращенного умножения:

Разность квадратов:

Квадрат разности:

Квадрат суммы:                             

Разность кубов:

Сумма кубов:

Кроме данных формул существуют так же и другие методы решения.

2. Теорема Безу (Деление уголком)

Данный метод используется для разложения на множители многочленов высоких степеней. Для этого следует подобрать один корень (х₀) и разделить весь многочлен на выражение: (х - х₀). Делать данную процедуру нужно до тех пор, пока многочлен не разложиться на множители полностью.

Например:

Равносильность систем уравнений