1.3.1 Логарифм числа

Видеоурок 1: ЕГЭ по математике. Логарифмы

Видеоурок 2: Логарифм числа. Свойства логарифмов

Лекция: Логарифм числа

Логарифм числа

Итак, давайте рассмотрим степенную функцию. Например, что значит 4² = 16? 2 - это показатель степени, который показывает, сколько раз необходимо умножить число 4 само на себя, чтобы получить 16. Иными словами, в какую степень следует возвести 4, чтобы получить 16. Если нам необходимо получить число 36 из числа 6, это значит, что мы число 6 должны возвести во вторую степень.

В общем виде рассматриваемые случаи можно записать следующим образом:

a^x = N.

Стоит обратить внимание, что в качестве "а" мы можем использовать все положительные числа, кроме числа 1. Более того, если число "а" больше нуля, то и N не может иметь отрицательные значения при любых показателях степеней.

Корнем некоторого уравнения a^x = N, где "а" может принимать положительные значения, отличные от нуля и единицы, является логарифмом некоторого N при основании "а". Иными словами,

Логарифм записывается словом log.

Например, 4³ = 64 можно записать иначе: log₄64 = 3.

Число 4 в данном логарифме называется его основанием. Данное выражение читается, как логарифм 64 по основанию 4 равен 3.

То есть для a^x = N, при "а" больше нуля и не равном единице, получим: log_aN = x.

На графике логарифм имеет вид, симметричный показательной функции.

Свойство логарифмов для положительного "а", не равного единице

Логарифм имеет любое положительное число, отличное от единицы. Если число отрицательное, то оно не может иметь логарифма.

Обратите внимание на график, функция может принимать положительные, отрицательные значения, а также число ноль, но при этом х только стремится к нулю, не достигая его.

Свойства для функций, у которых "а" строго больше единицы

1. Если некоторое число N₁ > N₂, то и log_aN₁ > log_aN₂. То есть, чем больше число логарифма с одинаковыми основаниями, тем больше и значение логарифма.

2. Если логарифм записан для N >  1, то значение логарифма положительное число. Если же N лежит в пределах от нуля до 1, то значение логарифма будет отрицательным числом.

3. При возрастании числа под логарифмом с одинаковым основанием должно возрастать и значение логарифма.

4. Если значения числа приближается к нулю, это значит, что значение логарифма убывает и может быть отрицательным. Чем больше модуль отрицательного значения логарифма, тем меньше число, и тем ближе оно к нулю.

Свойства для логарифмов, для которых "а" находится в пределе от нуля до единицы

1. Если некоторое число N растет, то значение логарифма падает.

2. Если число N больше единицы, то значение такого логарифма при заданном "а" будет числом отрицательным. Если же число N меньше единицы, то значение такого логарифма положительно.

3. Если число при заданном "а" возрастает до бесконечности, то значение такого логарифма падает до минус бесконечности.