2.1.4 Тригонометрические уравнения

Видеоурок: Тригонометрические уравнения

Лекция: Тригонометрические уравнения

Какое бы уравнение Вы бы не имели, его необходимо привести к самому простому виду:

cos(x) = a, sin(x) = a, tg(x) = a, ctg(x) = a.

Все уравнения приводятся к наипростейшим с помощью формул, описанных в предыдущих вопросах. Итак, давайте для начала рассмотрим, как решить наипростейшие тригонометрические уравнения.

Уравнения, приводящиеся к виду sin(x) = a

Если Вы получили, что синус некоторого аргументы равен некоторому числу, то данное уравнение имеет следующее решение:

x = (-1)^k arcsin (a) + πk, k ϵ Z, |a| ≤ 1.

Существует несколько базовых ситуаций, к которым могут быть сведены подобные уравнения:

• sin(x) = 0, => x = πk, k ϵ Z.
• sin(x) = 1, => x = π/2 + 2πk, k ϵ Z.
• sin(x) = -1, => x = -π/2 + 2πk, k ϵ Z.
• sin²(x) = a => x = ±arcsin + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Уравнения, приводящиеся к виду cos(x) = a

• cos(x) = 0, => x = π/2 + πk, k ϵ Z.
• cos(x) = 1, => x = 2πk, k ϵ Z.
• cos(x) = -1, => x = π + 2πk, k ϵ Z.
• cos²(x) = a => x = ±arccos + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Уравнения, приводящиеся к виду tg(x) = a

• tg(x) = 0, => x = πk, k ϵ Z.
• tg(x) = 1, => x = π/4 + πk, k ϵ Z.
• tg(x) = -1, => x = - π/4 +  2πk, k ϵ Z.
• tg ²(x) = a => x = ±arctg + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Уравнения, приводящиеся к виду ctg(x) = a

• ctg(x) = 0, => x = π/2 + πk, k ϵ Z.
• ctg(x) = 1, => x = π/4 + πk, k ϵ Z.
• ctg(x) = -1, => x = 3π/4 +  2πk, k ϵ Z.
• ctg ²(x) = a => x = ±arcctg + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].