3.3.3 Квадратичная функция, её график
Видеоурок 1: Квадратичная функция. Часть 1
Видеоурок 2: Квадратичная функция. Часть 2
Видеоурок 3: Построение графика квадратичной функции
Лекция: Квадратичная функция, её график
Квадратичная функцияЕсли перед Вами появилась функция вида у = ах2 + bx + c, то такая функция будет иметь название квадратичной.
Обратите внимание, функция будет квадратичной только в том случае, если коэффициент а ≠ 0.
Итак, в данной функции а, b и с - это коэффициенты:
- а - коэффициент при старшем члене,
- b - второй коэффициент,
- с - свободных член.
Любая квадратичная функция на координатной плоскости изображается в виде параболы, однако функция у = х2 имеет вид:
При с = 0 график всегда начинается в начале координат, а остальные 4 точки определяются самостоятельно:
Если коэффициент а < 0, то данный график будет иметь немного другой вид - ветки параболы будут направлены вниз:
Характеристика функции у = х21. Область значения функции - существует для всех действительных чисел.
2. Область значения функции - функция не может принимать отрицательные значения.
3. Парная функция, симметрична относительно оси ОУ.
4. Монотонно убывает на промежутке от минус бесконечности до нуля, монотонно возрастает на промежутке от нуля до бесконечности.
5. Минимум функции на все рассматриваемом промежутке в точке [0; 0].
Решение квадратного уравненияКак мы знаем, при решении квадратного уравнения может существовать несколько случаев, которые влияют на количество корней. Напомним Вам, что найти решение уравнения - значит найти точку, в которой график пересекает ось ОХ. Именно поэтому функция приравнивается к нулю: у = 0.
1. Если мы имеем уравнение вида у = ах2 + bx + c, то решая его по дискриминанту, можем получить D < 0. С точки зрения графика квадратичной функции это значит, что вершина параболы находится над осью ОХ, а её ветки направлены вверх. Именно из-за того, что не существует пересечения с осью ОХ, решений данное уравнение не имеет.
2. Если дискриминант равен нулю D = 0, то это означает, что уравнение имеет один корень. Следовательно, на графике это можно показать в качестве вершины, которая лежит на оси ОХ.
3. Если дискриминант больше нуля D > 0, это значит, что уравнение имеет два корня. На графике это можно показать, как пересечение оси ОХ ветвями параболы.
Алгоритм построения квадратичной функцииДавайте рассмотри алгоритм построение параболы по квадратичной функции на примере следующей функции: у = 2х2 + 3х - 5.
1. Первым делом следует определиться с направлением ветвей параболы. Для этого необходимо обратить внимание на коэффициент, который стоит перед старшим членом. Если коэффициент положительный, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, 2 > 0, а значит, в нашей функции ветви параболы направлены вверх.
2. Дальше следует приравнять функцию к нулю для нахождения дискриминанта. В данном получившемся уравнении дискриминант больше нуля, а это значит, что мы будем иметь два решения, а значит, два пересечение графика с осью ОХ.
3. Теперь давайте определим, в каких точках график будет пересекать ось ОХ. Для этого необходимо решить получившееся уравнение.
В данном случае мы получили корни:
х1 = 1, х2 = -2,5.
4. Находим координату вершины параболы. Для этого необходимо воспользоваться формулой:
5. Еще дополнительные две симметричные точки находятся через подстановку вместо "х" нуля. В нашем уравнении мы получили, что при х = 0, у = -5.
6. А теперь нанесем вершину, точки пересечения с осью ОХ и ОУ на график. В результате этого получим:
| Предыдущий урок | Следующий урок |
Оставить комментарий